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2. 3. 2  Elementar-Relationen auf Begriffen


Begriffe sind die Bedeutung von Prädikatoren. Aus den zugehörigen Umfängen (vgl. [2.2.2]) kann man im Sinne von Generalisierung die O-Relation auf Begriffen ableiten. Aus der Abstraktion (vgl. [2.2.3]) kann man die P-Relation zwischen Begriffen ableiten.

Dies sind die beiden grundlegenden Beziehungen, die zwischen Begriffen bestehen ! Mit ihnen kann man Elementarsätze bilden und mit diesen alle weiteren Aussagesätze.





2. 3. 2. 1  Elementarsätze

2. 3. 2. 2  Die O-Relation

2. 3. 2. 3  Die P-Relation






2. 3. 2. 1  Elementarsätze

Ausgangspunkt von Sprachanalyse sind oft die einfachsten, also kürzesten, Sätze, die Elementarsätze. Die längste Zeit verstand man darunter die vier Elementarsätze nach Aristoteles. Die formale Logik dazu ist die Syllogistik. Dann setzte sich die Prädikatenlogik durch, die im Endeffekt auf nur einem Elementarsatz fußt.

Elementarsätze bzw. Aussagetypen von Aristoteles

Aristoteles und seine Nachfolger betrachten vier Varianten von Aussagetypen bzw. Elementarsätzen. Es geht um je zwei Prädikatoren, deren Umfänge miteinander in Beziehung stehen.

Typ a – alle S sind P – [| S |] < [| P |]
Typ e – kein S ist P – [| S |] and [| P |] <=> kein P ist S
Typ i – einige S sind P  bzw.  (mind.) irgendein S ist P
Typ o – einige S sind nicht P  bzw.  (mind.) irgendein S ist nicht P

Typ a und Typ e sind die Motivation für den Allquantor in der späteren Prädikatenlogik.

Typ i und Typ o sind die Motivation für den Existenzquantor in der Prädikatenlogik. Sie sind eher bei Beweisen interessant. So sagen sie aber kaum etwas über die Begriffe P und S.

Es gilt zwischen den Elementarsätzen:  o = not a ,  i = not e  – und umgekehrt.

Elementarsätze in der Prädikatenlogik

Die Prädikatenlogik ist die wichtigste formale Logik seit dem frühen 20. Jh. (vgl. [] im anschließenden Logik-Teil).
Es gibt hier Prädikate und Gegenstände bzw. Variablen von Gegenständen. Daraus wird der Ausdruck P(x) gebildet. ... heißt es da schon "Prädikation" ?
Zu den Variablen gehört immer ein Quantor, entweder der Allquantor oder der Existenzquantor. Diese bedeuten wie oben bei Aristoteles "alle" und "irgendein". Man schreibt sie folgendermaßen:

Typ a - V x : S(x) -> P(x)
Type e - ...
Typ o - E x : S(X) -> ~P(x)  =  not a

Das Grundelement P(x) kann ebenfalls als Elementarsatz oder Satzform bezeichnet werden, wenn für die Variable x ein Gegenstand eingesetzt wird: P(g)  -  g ist ein P.  -  z.B.: Aristoteles ist ein Philosoph.
Die Prädikatenlogik benutzt also nur einen Elementarsatz.


Wir werden im folgenden für unsere Sprachverarbeitung hingegen genau zwei Formen von Elementarsätzen bzw. Elementaraussagen identifizieren, die sich aus den beiden grundlegenden Relationen auf Begriffen ergeben.


2. 3. 2. 2  Die O-Relation

Bei der Syllogistik geht es um Prädikatoren, deren Umfänge Teilmenge des anderen sind. Alle S sind auch P oder Alle S sind gerade nicht P.
Alle S sind auch P meint für die Bedeutungen von S und P nach [..], dass der Begriff {| P |} der Oberbegriff von {| S |] ist.
Alle Raben sind Vögel. {| Vogel |} ist Oberbegriff von {| Rabe |].

Auf die Spitze getrieben findet sich das in der Taxonomie der Biologie, wo Tiere und Pflanzen immer weiter in Gattungen und Familien unterteilt werden.
Der Oberbegriff ist allgemeiner als seine Unterbegriffe.

Ein Begriff ist Oberbegriff eines anderen Begriffs, wenn der zugehörige Umfang eine Obermenge des Umfangs zum zweiten Begriff ist.
rabe ==> krähenvogel ==> vogel

O-Relation O (b1, b2) := b1 <== b2
b1 <== b2 gdw.
<b1> > <b2>

rabe ==> krähenvogel
krähenvogel ==> vogel
rabe ==> schwarz
krähenvogel ==> kann_fliegen

Die O-Relation ist transitiv, aber weder reflexiv noch symmetrisch. Sie ist also eine Ordnungsrelation.
Dies ist die Generalisierung aus [..].
Die Begriffe einer transitiven Hülle befinden sich auf der gleichen Abstraktionsstufe.


2. 3. 2. 3  Die P-Relation

Die Prädikatenlogik benutzt die Prädikation(?) als kleinste Einheit. Hier werden als Gegenstände normalerweise Konkrete erwartet. Nach [..] sind aber auch Begriffe sprachliche Gegenstände. So erhalten wir unsere zweite grundlegende Relation auf Begriffen.

Ein Begriff ist ein Prädikationsbegriff eines anderen Begriffs, wenn der zugehörige Umfang den anderen Begriff enthält. Im Unterschied zum Oberbegriff geht es also um den Begriff seibst, der im Umfang enthalten ist, nicht wieder um den Umfang.
rabe o--> vogelart
schwarz o--> farbe

P-Relation P (b1, b2) := b1 <--o b2
b1 <--o b2 gdw.
<b1> > b2

Die P-Relation ist nicht transitiv. Sie ist gerichtet und stellt nur eine partielle Ordnungsrelation dar.
Der Begriff b1 befindet sich eine Abstraktionsstufe höher als b2.
Prädikationsbegriffe sind nach [2.3.1.3] also immer abstrakte Begriffe.

Die P-Relation kann nun von abstrakten Begriffen auf konkrete Begriffe fortgesetzt werden. Ein konkreter Begriff umfasst jetzt keine Begriffe mehr, sondern Konkretes.
Hansi o--> rabe
Hansi o--> schwarz




Erstmals kreiert am – Donnerstag, 13. November 2014
Letzrmals geändert am – Sonntag, 29. Dezember 2019
Autor: Korgüll


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