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2. 3. 2
Elementar-Relationen auf Begriffen
Begriffe
sind die Bedeutung von Prädikatoren. Aus den zugehörigen Umfängen (vgl.
[2.2.2]) kann man im Sinne von Generalisierung die O-Relation auf
Begriffen ableiten. Aus der Abstraktion (vgl. [2.2.3]) kann man die
P-Relation zwischen Begriffen ableiten.
Dies sind die beiden
grundlegenden Beziehungen, die zwischen Begriffen bestehen ! Mit ihnen
kann man Elementarsätze bilden und mit diesen alle weiteren
Aussagesätze.
2.
3. 2. 1 Elementarsätze
Ausgangspunkt von
Sprachanalyse sind oft die einfachsten, also kürzesten, Sätze, die Elementarsätze. Die
längste Zeit verstand man darunter die vier Elementarsätze nach Aristoteles.
Die formale Logik dazu ist die Syllogistik. Dann setzte sich die
Prädikatenlogik durch, die im Endeffekt auf nur einem Elementarsatz
fußt.
Elementarsätze
bzw. Aussagetypen von Aristoteles
Aristoteles und seine Nachfolger betrachten
vier Varianten von Aussagetypen bzw. Elementarsätzen. Es geht um je zwei
Prädikatoren, deren Umfänge miteinander in Beziehung stehen.
Typ a – alle S sind P – [| S |] < [| P |]
Typ e – kein S ist P – [| S |] and [| P |] <=> kein P ist S
Typ i – einige S sind P bzw. (mind.) irgendein S ist P
Typ o – einige S sind nicht P bzw. (mind.) irgendein S ist nicht P
Typ a und Typ e sind die Motivation für den
Allquantor in der späteren Prädikatenlogik.
Typ i und Typ o sind die Motivation für den
Existenzquantor in der
Prädikatenlogik. Sie sind eher bei Beweisen interessant. So sagen sie aber kaum etwas über die Begriffe P und S.
Es gilt zwischen den Elementarsätzen: o = not a , i
= not e – und umgekehrt.
Elementarsätze
in der Prädikatenlogik
Die Prädikatenlogik ist die wichtigste formale Logik seit dem frühen
20. Jh. (vgl. [] im anschließenden Logik-Teil).
Es gibt hier
Prädikate und
Gegenstände bzw. Variablen von Gegenständen. Daraus wird der Ausdruck P(x) gebildet. ... heißt es da schon "Prädikation" ?
Zu
den Variablen gehört immer ein Quantor, entweder der Allquantor oder
der Existenzquantor. Diese bedeuten wie oben bei Aristoteles "alle" und
"irgendein". Man schreibt sie folgendermaßen:
Typ a - V x : S(x) -> P(x)
Type e - ...
Typ o - E x : S(X) -> ~P(x) = not a
Das Grundelement P(x) kann ebenfalls als Elementarsatz oder
Satzform bezeichnet werden, wenn für die Variable x ein Gegenstand
eingesetzt wird: P(g) - g ist ein P. - z.B.:
Aristoteles ist ein Philosoph.
Die Prädikatenlogik benutzt also nur
einen Elementarsatz.
Wir werden im folgenden für unsere Sprachverarbeitung hingegen genau
zwei Formen von Elementarsätzen bzw.
Elementaraussagen identifizieren, die sich aus den beiden grundlegenden Relationen auf Begriffen
ergeben.
2.
3. 2. 2 Die O-Relation
Bei der
Syllogistik geht es um Prädikatoren, deren Umfänge Teilmenge des
anderen sind. Alle S sind auch P oder Alle S sind gerade nicht P.
Alle S sind auch P meint für die Bedeutungen von S und P nach [..], dass der Begriff {| P |} der
Oberbegriff von {| S |] ist.
Alle Raben sind Vögel. {| Vogel |} ist Oberbegriff von {| Rabe |].
Auf die Spitze
getrieben findet sich das in der Taxonomie der Biologie, wo Tiere und
Pflanzen immer weiter in Gattungen und Familien unterteilt werden.
Der
Oberbegriff ist allgemeiner als seine
Unterbegriffe.
Ein
Begriff ist
Oberbegriff eines anderen Begriffs, wenn der zugehörige
Umfang eine Obermenge des Umfangs zum zweiten Begriff ist.
rabe ==> krähenvogel ==> vogel
O-Relation O (b1, b2) := b1 <== b2
b1 <== b2 gdw.
<b1> > <b2>
rabe ==> krähenvogel
krähenvogel ==> vogel
rabe ==> schwarz
krähenvogel ==> kann_fliegen
Die O-Relation ist transitiv, aber weder reflexiv noch symmetrisch. Sie
ist also eine Ordnungsrelation.
Dies ist die Generalisierung aus [..].
Die Begriffe einer transitiven Hülle befinden sich auf der gleichen
Abstraktionsstufe.
2.
3. 2. 3 Die P-Relation
Die
Prädikatenlogik benutzt die Prädikation(?) als kleinste Einheit. Hier
werden als Gegenstände normalerweise Konkrete erwartet. Nach [..] sind
aber auch Begriffe sprachliche Gegenstände. So erhalten wir unsere
zweite grundlegende Relation auf Begriffen.
Ein
Begriff ist ein
Prädikationsbegriff eines anderen Begriffs, wenn der
zugehörige Umfang den anderen Begriff enthält. Im Unterschied zum
Oberbegriff geht es also um den Begriff seibst, der im Umfang enthalten
ist, nicht wieder um den Umfang.
rabe o--> vogelart
schwarz o--> farbe
P-Relation P (b1, b2) := b1 <--o b2
b1 <--o b2 gdw.
<b1> > b2
Die P-Relation ist nicht transitiv. Sie ist gerichtet und stellt nur
eine partielle Ordnungsrelation dar.
Der Begriff b1 befindet sich eine Abstraktionsstufe höher als b2.
Prädikationsbegriffe sind nach [2.3.1.3] also immer abstrakte Begriffe.
Die
P-Relation kann nun von abstrakten Begriffen auf konkrete Begriffe
fortgesetzt werden. Ein konkreter Begriff umfasst jetzt keine Begriffe
mehr, sondern Konkretes.
Hansi o--> rabe
Hansi o--> schwarz
Erstmals kreiert am – Donnerstag, 13. November 2014
Letzrmals geändert am – Sonntag, 29. Dezember 2019
Autor: Korgüll
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